materi kuliah LMH

PERNYATAAN BERKUANTOR DAN NEGASINYA
A. Kuantifikasi
Kalimat Terbuka Pernyataan
ada 2 cara → Substitusi
→ Kuantifikasi
Misalkan S adalah himpunan semesta (himpunan semua objek
pembicaraan yang sedang dilakukan) dan p suatu sifat tertentu. Jika
x dalam S mempunyai sifat p ditulis p(x) maka p(x) merupakan
kalimat terbuka, sehingga p(x) dapat berubah menjadi pernyataan,
salah satunya dengan kuantifikasi (menggunakan kuantor) :
i. memberi jumlah seluruh semesta pembicaraan, dengan notasi ∀
∀x p(x), dibaca setiap/semua/sebarang x mempunyai sifat p
ii. memberi jumlah sekurang-kurangnya satu anggota dari
himpunan semesta, dengan notasi ∃.
∃x p(x), dibaca : terdapatlah / ada / ada sekurang-kurangnya
satu / dapat ditemukan / beberapa x mempunyai sifat p
contoh :
misalkan S = himpunan semua bilangan asli dan
p(x) : x – 1 < 0 (kal. Terbuka)
∀x p(x) → ∀x, x – 1 < 0 adalah pernyataan salah
∃x p(x) → ∃x, x – 1 < 0 adalah juga pernyataan salah
Jika dipunyai kalimat terbuka dengan lebih dari satu peubah maka
mengubahnya menjadi pernyataan dengan kuantifikasi adalah sebagai
berikut :
- untuk 2 peubah x dan y, ada 4 kuantor :
∀x ∀y p(x,y) ; ∃x ∀y p(x,y) ; ∀x ∃y p(x,y) ; ∃x ∃y p(x,y)
- untuk 3 peubah x, y dan z, ada 8 kuantor :
∀x ∀y ∀z p(x,y,z); ∀x ∀y ∃x p(x,y,z); ∀x ∃y ∀z p(x,y,z);
∃x ∀y ∀z p(x,y,z); ∀x ∃y ∃z p(x,y,z); ∃x ∀y ∃z p(x,y,z);
∃x ∃y ∀z p(x,y,z); ∃x ∃y ∃z p(x,y,z)
Logika Matematika & Himpunan
14
- dan seterusnya untuk n peubah, ada 2n kuantor.
B. Negasi (ingkaran) pernyataan berkuantor
Perhatikan ilustrasi contoh berikut :
􀂙 TIDAK BENAR bahwa semua mahasiswa UIN sudah hafal juz 30
Menurut saudara, di antara pernyataan berikut mana yang ekuivalen
dengan Pernyataan di atas :
A. semua mahasiswa UIN belum hafal juz 30
B. Ada mahasiswa UIN belum hafal juz 30
C. Ada mahasiswa UIN sudah hafal juz 30
􀂙 TIDAK BENAR bahwa Ada mahasiswa UIN yang suka merokok
Menurut saudara, di antara pernyataan berikut mana yang ekuivalen
dengan Perhyataan di atas :
A. Semua mahasiswa UIN tidak suka merokok
B. Ada mahasiswa UIN yang tidak suka merokok
C. Semua mahasiswa UIN suka merokok
D. Tidak ada mahasiswa UIN yang tidak suka merokok
Contoh :
1. Tidak benar bahwa ada peserta pelatihan yang mengantuk
⇔ semua peserta pelatihan tidak mengantuk.
2. Tidak benar bahwa semua peserta pelatihan lulus ⇔ ada
peserta pelatihan yang tidak lulus