Jumat, 25 November 2011

MODUL I

KALKULUS II

DERIVATIF FUNGSI IMPLISIT

1.1 Derivatif Fungsi-fungsi Implisit
Persamaan f(x,y) = 0 pada suatu daerah tertentu, menentukan y sebagai fungsi implisit dari x, maka turunan y dapat ditentukan sbb :
  • Jika mungkin ubalah fungsi implisit, menjadi fungsi eksplisit y = g(x), kemudian diferensiasikan.
  • Pikirkan y sebagai fungsi x, kemudian turunkan persamaan implisit tersebut terhadap x dan persamaan yang diperoleh agar dipecahkan untuk y’
Contoh-contoh :
Selesaikan diferensiasi fungsi implisit berikut kedalam turunan pertama dan ke dua
  1. xy + x – 2y – 1 = 0
  2. xy – x + y – 2 = 0
  3. y2 = 2x3
  4. x2 + 5y2 = 1
  5. x3 + x2y – 10y4 = 0
Penyelesaian.
1. Ubah fungsi tersebut kedalam fungsi eksplisit lalu turunkan
xy + x – 2y – 1 = 0
(x – 2) y = 1 – x
y = y’ = =
y’ = =

  1. xy – x + y – 2 = 0
xy – y = 2 + x
( x + 1) y = 2 + x
y =
y’ =
y’ = y’ =

3. y2 = 2x3 Persamaan tetap dalam fungsi implisit

d /dx (y 2) = d / dx (2x3)
2 y y’ = 6 x 2
y’ = 6x2/2y y’ = 3x2/y. 2y 0

4. x2 + 5y2 = 1
d /dx ( x 2) + d /dx ( 5y 2) = d /dx (1)
2x + 10yy’ = 0
y’ = - 2x/10y atau y’ = - x/5y. y 0

5. x3 + x2y – 10y4 = 0
d/dx (x3) + d/dx (x2y) – d/dx (10y4) = d/dx (0)
3x2 + 2xy + x2y’ – 40y3y’ = 0
40y3y’ – x2y’ = 3x2 + 2xy
(40y3 – x2)y’ = 3x2 + 2xy
y’ =

1.2 Derivativ Tingkat Tinggi Fungsi Implisit

Misalnya y = f (x), fungsi x yang dapat di diferensiasikan dan turunnnya disebut turunan pertama, jika hasil turunan ini diturunkan lagi sampai ketingkat yang lebih tinggi, maka disebut diferensiasi tingkat tinggi.
Turunan dari suatu orde disuatu titik hanya mungkin ada jika fungsi dari semua turunan lebih rendah dapat didiferensiasikan di titik tersebut.
Misal y = f(x)
Turunan pertamanya : y’ = dy / dx = f ’(x)
Turunan keduanya : y” = d2y / dx2 = f ”(x)
Turunan ketiganya : y ’’’ = d3y / dx3 = f ’’’(x)
Turunan ke-n : y n = d n y / dx n = f n (x)……..dst.
Contoh-contoh :
1. Carilah turunan ke 4nya fungsi y = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1
Jawab : y’ = 20x3 – 12x2 + 6x – 2
y” = 60x2 – 24x + 6
y’’’ = 120x – 24
y4 = 120
2. Carilah Turunan kedua dari fungsi xy + 2x – 4y = 10
Jawab : d / dx (xy) + d /dx (2x) – d /dx (4y) = d /dx (10 )
y + xy’ + 2 – 4y’ = 0 atau x y’ – 4 y’ = - 2 – y
( x – 4 ) y’ = - ( 2 + y ) y’ =
dari y + xy’ + 2 – 4y’ = 0 kita turunkan lagi
d /dx ( y ) + d /dx ( x y’ ) + d /dx ( 2 ) – d /dx ( 4y’) = d /dx ( 0 )
y’ + y’ + xy” – 4y” = 0
2 y’ + ( x – 4 ) y ” = 0
( x – 4 ) y “ = - 2 y ‘
( x – 4 ) y” = - 2 ( )
( x – 4 ) y “ =
y” =

  1. Hitung y ‘ dan y” pada x = 1 dan y = -1 untuk fungsi x 3 y + x y 3 = 2
Jawab :
d/dx ( x3 y) + d /dx ( x y3 ) = d /dx ( 2 )
3x2y + x3y’ + y3 + 3 x y 2 y’ = 0
x3y’ + 3 x y 2 y’ = - ( 3 x 2 y + y 3 )
( x 3 + 3 x y 2 ) y’ = - ( 3x 2 y + y 3 )
y’ =
untuk x = 1 dan y = -1 kita masukan harga tersebut ke y’ maka diperoleh y’ = 1

untuk y” dari 3x2y + x3y’ + y3 + 3 x y 2 y’ = 0 kita turunkan lagi
d/dx (3x2y) + d/dx (x3y’) + d/dx (y3) + d/dx (3xy2y’) = 0
6xy + 3 x 2 y’ + 3 x 2 y’ + x3y” + 3 y 2 y’ + 3 y 2 y’ + 6 x y y’y’ + 3 x y 2 y” = 0
x3y” + 3x y 2 y” = - 6 x y - 6 x 2 y’ - 6 y 2 y’ - 6 x y y’ 2
( x3 + 3 x y 2 ) y” = - ( 6 x y + 6 x 2 y ’ + 6 y 2 y’ + 6 x y y’2 )
y “ =

untuk x = 1, y = -1 dan y’ = 1, didapat y” = 0

1.3 Nilai Extrem.
Suatu nilai ekstrem fungsi akan memuat titik- titik kritis, fungsi naik dan fungsi turun serta nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.
Menentukan titik kritis ;
Jika f(x) dapat diturunkan dalam selang a x b dimana f (x) memiliki nilai relatif maka f’(x) = 0 adalah kritis
Selesaikan f’(x0) = 0 untuk harga-harga kritis. Buat garis bilangan y’ untuk harga-harga kritis tentukan tanda setiap ruas dari y’.
1.4 Fungsi Naik & Fungsi Turun
  • Suatu fungsi dikatakan naik pada x = x0. bila turunannya positif, f’(x0) 0.
  • Suatu fungsi dikatakan turun pada x = x0, bila turunannya negatif, f’(x0) 0.
  • Suatu fungsi dikatakan diam (stationer) pada x = x0, bila turunannya nol, f’(x0) = 0.
1.5 Harga Maksimum dan Minimum.
  • Suatu fungsi f(x) bernilai maksimum, jika f’(x0) berubah tanda dari tanda positif ke negatif.
  • Suatu fugnsi f(x) bernilai minimum, jika f’(x0) berubah tanda dari tanda negatif ke positif.





a
r
b
s
c
t
u


Gambar 1.1 : Kedudukan fungsi


  • Fungsi naik dalam interval a x r dan t x u
  • Fungsi turun dalam interval r x t
  • Fungsi diam (statisioner) pada titik x = 0, x = s, dan x = t
  • Titik-titik R,S, dan T disebut titik kritis
Contoh-contoh
1 Diketahui fungsi y = 1/3 x3 – 1/2x2 – 2x
Tentukan : a. Titik kritis
b. Fungsi naik dan turun
c. Nilai maximum-minimum
Jawab : f(x) = 1/3x3 – 1/2x2 – 2x
f’(x) = x 2 – x – 2 f ’(x) = 0
x 2 – x – 2 = 0 atau ( x – 2 )( x + 1 ) = 0
x1 = 2 dan x2 = - 1. harga kritis
Untuk x = 2 didapat y = - 10/3 jadi titik kritisnya ( 2, -10/3 )
Untuk x = -1 didapat y = 7/6 jadi titik kritisnya ( 1, 7/6 )
Y ‘ + -- +
-1 2
b. Fungsi Naik dan Turun
  • Fungsi naik pada interval x - 1 dan x 2 berubah tanda dari - ke +
  • Fungsi turun pada interval –1 x 2 berubah tanda dari + ke -
  1. Nilai maximum dan minimum fungsi
      • Pada x = -1, f’(x) berubah tanda dari + ke -, maka f(x) mempunyai harga maximum f(x) = 7/6.
      • Pada x = 2, f’(x) berubah tanda dari – ke +, makla f(x) mempunyai harga minimum f(x) = -10/3.


7/6





+ + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +
-1
2

-10/3




Gambar 1.2 : Kedudukan fungsi













  1. Diberikan f(x) = 1/3x3 + 1/2x2 – 6x + 8
Tentukan a. Titik kritis
    1. Interval dimana y naik dan y turun
    2. Nilai maximum dan minimum f(x)
Jawab :
a. f(x) = 1/3x3 + 1/2x2 – 6x + 8
f’(x) = x2 + x – 6 f’(x) = 0 (x + 3)(x – 2) = 0
  • Harga kritis x = -3 dan x = 2
  • Titik kritis (-3, 43/2) dan (2, 2/3)

43/2


8



-3
2


Y’

b
-3
2
. + + + - - - - - + + +

Fungsi naik pada interval x -3 dan x 2.
Untuk fungsi naik, diketahui turunan pertamanya f’(x) 0, (tanda +)
Fungsi turun pada interval –3 x 2
Untuk fungsi turun, diketahui turunan pertamanya f’(x) 0.
  1. Pada x = -3,
f’(x) berubah tanda dari + ke - , maka f(x) mempunyai harga maximum pada Y = 43/2.
Pada x = 2, f’(x) berubah tanda dari – ke +, maka f(x) mempunyai harga minimum pada f(x) = 2/3.
1.5 Harga Maksimum dan Minimum.
  • Suatu fungsi f(x) bernilai maksimum, jika f’(x0) berubah tanda dari tanda positif ke negatif.
  • Suatu fugnsi f(x) bernilai minimum, jika f’(x0) berubah tanda dari tanda negatif ke positif.





a
r
b
s
c
t
u


Gambar 1.1 : Kedudukan fungsi


  • Fungsi naik dalam interval a x r dan t x u
  • Fungsi turun dalam interval r x t
  • Fungsi diam (statisioner) pada titik x = 0, x = s, dan x = t
  • Titik-titik R,S, dan T disebut titik kritis
Contoh-contoh
1 Diketahui fungsi y = 1/3 x3 – 1/2x2 – 2x
Tentukan : a. Titik kritis
b. Fungsi naik dan turun
c. Nilai maximum-minimum
Jawab : f(x) = 1/3x3 – 1/2x2 – 2x
f’(x) = x 2 – x – 2 f ’(x) = 0
x 2 – x – 2 = 0 atau ( x – 2 )( x + 1 ) = 0
x1 = 2 dan x2 = - 1. harga kritis
Untuk x = 2 didapat y = - 10/3 jadi titik kritisnya ( 2, -10/3 )
Untuk x = -1 didapat y = 7/6 jadi titik kritisnya ( 1, 7/6 )
Y ‘ + -- +
-1 2
b. Fungsi Naik dan Turun
  • Fungsi naik pada interval x - 1 dan x 2 berubah tanda dari - ke +
  • Fungsi turun pada interval –1 x 2 berubah tanda dari + ke -
  1. Nilai maximum dan minimum fungsi
      • Pada x = -1, f’(x) berubah tanda dari + ke -, maka f(x) mempunyai harga maximum f(x) = 7/6.
      • Pada x = 2, f’(x) berubah tanda dari – ke +, makla f(x) mempunyai harga minimum f(x) = -10/3.

diposting oleh wawan poenyae @ 08.20   0 Komentar

0 Komentar:

Posting Komentar

Berlangganan Posting Komentar [Atom]

<< Beranda